Đề thi đề xuất chọn học sinh giỏi tỉnh năm học 2009 - 2010

Đề thi đề xuất chọn HSG tỉnh năm học 2009-2010
Phần I. Trắc nghiệm khách quan (2 điểm):
Câu 1: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a là:
 A. B. C. D. 
Câu 2: Một nguyên hàm của hàm số f(x)=cos3x là:
 A. F(x)= cos3x B. F(x)=sin3x+ 
 C. F(x)= 3sin3x D. F(x)=cos3x+
Câu 3: Giá trị lớn nhất của hàm số y= 1+ là;
 A. 2 B. 1 C. D. 1+
Câu 4: Cho mặt phẳng (): 2x+4y-z-15=0 
 x = 1- 2t
 và đường thẳng d: y = 3 + t Tìm khẳng định đúng?
 z = -1 
 A. d () B. d () C. d // () D. d () = M (1;3;-1)
Phần II: Tự luận: (18 điểm)
Câu 1 (5.0 điểm): Cho hàm số: y= (C). 
 1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
 2, Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : y= x-2.
Câu 2 (2 điểm): Giải phương trình : +=1
Câu 3 (3 điểm): 1, Tính tích phân: I = 
 2, Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển của biểu thức: (+)n (x>0).
 Biết n thỏa mãn: 
Câu 4 (6 điểm): Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0), B(0;1;1), C(1;0;1).
 1, Chứng minh bốn điểm O,A,B,C tạo thành một tứ diện.
 2, Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa OC và song song với AB. Tính khoảng cách giữa OC và AB.
 3, Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Câu 5 (2.0) điểm): Cho hai số: x, y và x+y=1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P(x,y) = x3(y2+1)+y3(x2+1).
------------------------------------------------
Đáp án-thang điểm chấm đề thi đề xuất chọn HSG tỉnh
Môn : Toán-Năm học 2009-2010 (gồm 4 trang)
Phần I. Trắc nghiệm khách quan: (Mỗi câu 0,5 điểm)
Câu
1
2
3
4
Đáp án
D
B
C
A
Phần II: Tự luận: (18 điểm)
Câu:1
(5,0 đ)
	Đáp án
Điểm
1, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
* TXĐ: D=R \ 
0.25
Sự biến thiên: 
 + Chiều biến thiên: y’= 
0.25
y’< 0 DHàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;1) và (1;+∞)
0.5
 + Cực trị: Hàm số không có cực trị.
0.25
 + Tiệm cận: 
Do đó đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng 
Nên đường thẳng y=-1 là tiệm cận ngang
0.5
 + Bảng biến thiên:
x
 1 +
y’
 -	-
y
-1 +
 -1
0.5
* Đồ thị: 
 Đồ thị (C) cắt Ox tại (2;0) và cắt Oy tại (0;-2)
0.5
y
 x=1
1
2
o
x
-1
-2
	y=-1
0.75
2. Viết PTTT vuông góc với đường thẳng : y= x-2
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, do TT vuông góc với nên k=-1
0.25
Ta có: y’= nên hoành độ tiếp điểm của TT và đồ thị (C) là nghiệm của phương trình: =-1x=0 hoặc x=2
0.5
+ Với x=0 y=-2. phương trình tiếp tuyến của (C) tại (0;-2) là:
 y=-x-2
0.25
+ Với x=2 y=0. Phương trình tiếp tuyến tại (2;0) là:
 y=-x+2
0.25
Vậy tiếp tuyến vuông góc với của đồ thị (C) là:
 y=-x-2 và y=-x+2
0.25
Câu:2
(2đ)
Giải phương trình: +=1
Đặt u=, v= (u 0). Ta được hệ phương trình:
0.5
Giải hệ thu đuợc nghiệm của hệ là: (0,1); (1;0); (3;-2) 
0.5
+Với
0.25
+Với : 
0.25
+Với: 
0.25
Vậy phương trình có 3 nghiệm là x=2; x=3; x=11
0.25
Câu 3
(3đ)
1. Tính tích phân:
Đặt: 
0.5
I=(-xe-x)- 
0.25
 = -- e-x
0.5
= 1-
0.25
2. Tìm hệ số của x 
Xét: (điều kiện nN)
n2+4n-45=0 n=5 (do nN)
0.25
0.25
Với n=5. Ta xét khai triển (+)5 có số hạng tổng quát là: = = với 0 và kN
0.5
 chứa x khi 
0.25
Suy ra hệ số của số hạng chứa x trong khai triển là: C=5
0.25
Câu 4
(6đ)
1. Chứng minh O, A, B, C tạo thành tứ diện
Ta có:=(1;0;0), =(0;1;1) [] = (0;-1;1)
0.75
mp(OAB) qua O và nhận [] làm VTPT nên có phương trình:
-y+z=0
0.5
Do đó: d(C, (OAB))=
0.5
Suy ra: C(OAB) O,A,B,C không đồng phẳng nên bốn điểm O,A,B,C tạo thành một tứ diện
0.25
2. Lập phương trình (P), tính khoảng cách giữa OC và AB
=(1;0;1), =(-1;1;1) [] = (-1;-2;1)
0.75
mp(P) chứa OC và song song với AB nên qua O và nhận VTPT là: [] nên có phương trình: -x-2y+z = 0
0.5
Vì (P) chứa OC và song song với AB nên
 d(OC, AB) =d(A,(P)) ==
0.75
Câu 5
(2.0đ)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất	
Vì x, y, x+y=1 nên: 0 
0.25
và P(x,y)=x3y2+x3+y3x2+y3=x2y2(x+y)+(x3+y3)=x2y2-3xy+1
0.75
Đặt xy=t ta được: P(x,y)=f(t)=t2-3t+1 với ot
0.25
f’(t)=2t-3=0t=[0;]
0.25
Mà: f(0)=1 , f()=-
0.25
Suy ra: Max P(x,y) =1, Min P(x,y)=- 
0.25