Bộ 270 bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi (Sưu tập)

CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI 
1 
PHẦN I: ĐỀ BÀI 
1. Chứng minh 7 là số vô tỉ. 
2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) 
 b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) 
3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2. 
4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : a b ab
2
+ ≥ . 
 b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : bc ca ab a b c
a b c
+ + ≥ + + 
 c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab. 
5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3. 
6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b. 
7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 
8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : a b a b+ > − 
9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a 
 b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 
10. Chứng minh các bất đẳng thức : 
 a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 
11. Tìm các giá trị của x sao cho : 
 a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5 c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1. 
12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 
13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ 
nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 
14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0. 
15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : 
 x
2
 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0 
16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2
1A
x 4x 9
=
− +
17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) : 
 a) 7 15 và 7+ b) 17 5 1 và 45+ + 
 c) 23 2 19 và 27
3
−
 d) 3 2 và 2 3 
18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn 2 nhưng nhỏ hơn 3 
19. Giải phương trình : 2 2 23x 6x 7 5x 10x 21 5 2x x+ + + + + = − − . 
20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4. 
21. Cho 1 1 1 1S .... ...
1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 1= + + + + +− + −
. 
 Hãy so sánh S và 19982.
1999
. 
22. Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì a là số vô tỉ. 
23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng : 
a) x y 2
y x
+ ≥ 
b) 
2 2
2 2
x y x y 0
y x y x
   
+ − + ≥   
  
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI 
2 
c) 
4 4 2 2
4 4 2 2
x y x y x y 2
y x y x y x
     
+ − + + + ≥     
    
. 
24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ : 
a) 1 2+ 
b) 3m
n
+ với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ 0. 
25. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ? 
26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng : 
2 2
2 2
x y x y4 3
y x y x
 
+ + ≥ + 
 
. 
27. Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng : 
2 2 2
2 2 2
x y z x y z
y z x y z x
+ + ≥ + + . 
28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ. 
29. Chứng minh các bất đẳng thức : 
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) 
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 
c) (a1 + a2 + .. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + .. + an2). 
30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2. 
31. Chứng minh rằng : [ ] [ ] [ ]x y x y+ ≤ + . 
32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2
1A
x 6x 17
=
− +
. 
33. Tìm giá trị nhỏ nhất của : x y zA
y z x
= + + với x, y, z > 0. 
34. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4. 
35. Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1. 
36. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu : 
a) ab và a
b
 là số vô tỉ. 
b) a + b và a
b
 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 
c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 
37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 
38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh : a b c d 2
b c c d d a a b
+ + + ≥
+ + + +
39. Chứng minh rằng [ ]2x bằng [ ]2 x hoặc [ ]2 x 1+ 
40. Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ;  ; a + 15n. Chứng minh 
rằng trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96. 
41. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa : 
2
2 2
1 1 1 2A= x 3 B C D E x 2x
xx 4x 5 1 x 3x 2x 1
− = = = = + + −
+ − − −
− −
2G 3x 1 5x 3 x x 1= − − − + + + 
42. a) Chứng minh rằng : | A + B | ≤ | A | + | B | . Dấu “ = ” xảy ra khi nào ? 
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : 2 2M x 4x 4 x 6x 9= + + + − + . 
 c) Giải phương trình : 2 2 24x 20x 25 x 8x 16 x 18x 81+ + + − + = + + 
43. Giải phương trình : 2 22x 8x 3 x 4x 5 12− − − − = . 
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI 
3 
44. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa : 
2 2
2
1 1A x x 2 B C 2 1 9x D
1 3x x 5x 6
= + + = = − − =
−
− +
2 2
2
1 xE G x 2 H x 2x 3 3 1 x
x 42x 1 x
= = + − = − − + −
−+ +
45. Giải phương trình : 
2
x 3x 0
x 3
−
=
−
46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A x x= + . 
47. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B 3 x x= − + 
48. So sánh : a) 3 1a 2 3 và b=
2
+
= + b) 5 13 4 3 và 3 1− + − 
 c) n 2 n 1 và n+1 n+ − + − (n là số nguyên dương) 
49. Với giá trị nào của x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất : 2 2A 1 1 6x 9x (3x 1)= − − + + − . 
50. Tính : a) 4 2 3 b) 11 6 2 c) 27 10 2− + − 
2 2d) A m 8m 16 m 8m 16 e) B n 2 n 1 n 2 n 1= + + + − + = + − + − − (n ≥ 1) 
51. Rút gọn biểu thức : 8 41M
45 4 41 45 4 41
=
+ + −
. 
52. Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : 2 2 2(2x y) (y 2) (x y z) 0− + − + + + = 
53. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2P 25x 20x 4 25x 30x 9= − + + − + . 
54. Giải các phương trình sau : 
2 2 2 2 2a) x x 2 x 2 0 b) x 1 1 x c) x x x x 2 0− − − − = − + = − + + − = 
4 2 2d) x x 2x 1 1 e) x 4x 4 x 4 0 g) x 2 x 3 5− − + = + + + − = − + − = − 
2 2 2h) x 2x 1 x 6x 9 1 i) x 5 2 x x 25− + + − + = + + − = − 
k) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1 l) 8x 1 3x 5 7x 4 2x 2+ − − + + − − = + + − = + + − 
55. Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện : xy = 1 và x > y. CMR: 
2 2x y 2 2
x y
+ ≥
−
. 
56. Rút gọn các biểu thức : 
a) 13 30 2 9 4 2 b) m 2 m 1 m 2 m 1
c) 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3 d) 227 30 2 123 22 2
+ + + + − + − −
+ + + + + + − + + − + +
57. Chứng minh rằng 6 22 3
2 2
+ = + . 
58. Rút gọn các biểu thức : 
( ) ( )6 2 6 3 2 6 2 6 3 2 9 6 2 6
a) C b) D
2 3
+ + + − − − +
− −
= = . 
59. So sánh : 
a) 6 20 và 1+ 6 b) 17 12 2 và 2 1 c) 28 16 3 và 3 2+ + + − − 
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI 
4 
60. Cho biểu thức : 2A x x 4x 4= − − + 
a) Tìm tập xác định của biểu thức A. 
b) Rút gọn biểu thức A. 
61. Rút gọn các biểu thức sau : a) 11 2 10 b) 9 2 14− − 
3 11 6 2 5 2 6
c)
2 6 2 5 7 2 10
+ + − +
+ + − +
62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức : 2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
+ + = + + 
63. Giải bất phương trình : 2x 16x 60 x 6− + < − . 
64. Tìm x sao cho : 2 2x 3 3 x− + ≤ . 
65. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết rằng : 
 x
2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1) 
66. Tìm x để biểu thức có nghĩa: 
2
21 16 xa) A b) B x 8x 8
2x 1x 2x 1
−
= = + − +
+
− −
. 
67. Cho biểu thức : 
2 2
2 2
x x 2x x x 2xA
x x 2x x x 2x
+ − − −
= −
− − + −
. 
a) Tìm giá trị của x để biểu thức A có nghĩa. 
b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A < 2. 
68. Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số : 0,9999....9 (20 chữ số 9) 
69. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của : A = | x - 2 | + | y – 1 | với | x | + | y | = 5 
70. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1 
71. Trong hai số : n n 2 và 2 n+1+ + (n là số nguyên dương), số nào lớn hơn ? 
72. Cho biểu thức A 7 4 3 7 4 3= + + − . Tính giá trị của A theo hai cách. 
73. Tính : ( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)+ + + − − + − + + 
74. Chứng minh các số sau là số vô tỉ : 3 5 ; 3 2 ; 2 2 3+ − + 
75. Hãy so sánh hai số : a 3 3 3 và b=2 2 1= − − ; 5 12 5 và
2
+
+ 
76. So sánh 4 7 4 7 2+ − − − và số 0. 
77. Rút gọn biểu thức : 2 3 6 8 4Q
2 3 4
+ + + +
=
+ +
. 
78. Cho P 14 40 56 140= + + + . Hãy biểu diễn P dưới dạng tổng của 3 căn thức bậc hai 
79. Tính giá trị của biểu thức x2 + y2 biết rằng : 2 2x 1 y y 1 x 1− + − = . 
80. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của : A 1 x 1 x= − + + . 
81. Tìm giá trị lớn nhất của : ( )2M a b= + với a, b > 0 và a + b ≤ 1. 
82. CMR trong các số 2b c 2 ad ; 2c d 2 ab ; 2d a 2 bc ; 2a b 2 cd+ − + − + − + − có ít nhất 
hai số dương (a, b, c, d > 0). 
83. Rút gọn biểu thức : N 4 6 8 3 4 2 18= + + + . 
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI 
5 
84. Cho x y z xy yz zx+ + = + + , trong đó x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z. 
85. Cho a1, a2, , an > 0 và a1a2an = 1. Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)(1 + an) ≥ 2n. 
86. Chứng minh : ( )2a b 2 2(a b) ab+ ≥ + (a, b ≥ 0). 
87. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn 
thẳng có độ dài a , b , c cũng lập được thành một tam giác. 
88. Rút gọn : a) 
2ab b aA
b b
−
= − b) 
2(x 2) 8xB 2
x
x
+ −
=
−
. 
89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều có : 
2
2
a 2 2
a 1
+ ≥
+
. Khi nào có đẳng thức ? 
90. Tính : A 3 5 3 5= + + − bằng hai cách. 
91. So sánh : a) 3 7 5 2 và 6,9 b) 13 12 và 7 6
5
+
− − 
92. Tính : 2 3 2 3P
2 2 3 2 2 3
+ −
= +
+ + − −
. 
93. Giải phương trình : x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2+ + − + − − − = . 
94. Chứng minh rằng ta luôn có : n
1.3.5...(2n 1) 1P
2.4.6...2n 2n 1
−
= <
+
 ; ∀n ∈ Z+ 
95. Chứng minh rằng nếu a, b > 0 thì 
2 2a b
a b
b a
+ ≤ + . 
96. Rút gọn biểu thức : A = 
2
x 4(x 1) x 4(x 1) 1
. 1
x 1x 4(x 1)
− − + + −  
− 
− 
− −
. 
97. Chứng minh các đẳng thức sau : a b b a 1a) : a b
ab a b
+
= −
−
 (a, b > 0 ; a ≠ b) 
14 7 15 5 1 a a a ab) : 2 c) 1 1 1 a
1 2 1 3 7 5 a 1 a 1
    
− − + −
+ = − + − = −    
− − − + −    
 (a > 0). 
98. Tính : a) 5 3 29 6 20 ; b) 2 3 5 13 48− − − + − + . 
 c) 7 48 28 16 3 . 7 48 + − − + 
 
. 
99. So sánh : a) 3 5 và 15 b) 2 15 và 12 7+ + + 
16
c) 18 19 và 9 d) và 5. 25
2
+ 
100. Cho hằng đẳng thức : 
2 2a a b a a b
a b
2 2
+ − − −± = ± (a, b > 0 và a2 – b > 0). 
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI 
6 
Áp dụng kết quả để rút gọn : 
2 3 2 3 3 2 2 3 2 2
a) ; b)
2 2 3 2 2 3 17 12 2 17 12 2
+ − − +
+ −
+ + − − − +
2 10 30 2 2 6 2
c) :
2 10 2 2 3 1
+ − −
− −
101. Xác định giá trị các biểu thức sau : 
2 2
2 2
xy x 1. y 1
a) A
xy x 1. y 1
− − −
=
+ − −
với 1 1 1 1x a , y b
2 a 2 b
   
= + = +   
   
 (a > 1 ; b > 1) 
a bx a bxb) B
a bx a bx
+ + −
=
+ − − ...  + + + +
. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 
cho 3 số dương : 31 b c d bcd3.
a 1 b 1 c 1 d 1 (b 1)(c 1)(d 1)
≥ + + ≥
+ + + + + + +
. Tương tự : 
3
3
3
1 acd3.
b 1 (a 1)(c 1)(d 1)
1 abd3.
c 1 (a 1)(b 1)(d 1)
1 abc3.
d 1 (a 1)(b 1)(c 1)
≥
+ + + +
≥
+ + + +
≥
+ + + +
Nhân từ bốn bất đẳng thức : 11 81abcd abcd
81
≥ ⇒ ≤ . 
234. Gọi 
2 2 2
2 2 2
x y zA
y z x
= + + . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : 
22 2 2
2 2 2
x y z x y z3A (1 1 1)
y z x y z x
   
= + + + + ≥ + +   
  
 (1) 
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI 
41 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : 3x y z x y z3. . . 3
y z x y z x
+ + ≥ = (2) 
Nhân từng vế (1) với (2) : 
2
x y z x y z x y z3A 3 A
y z x y z x y z x
   
+ + ≥ + + ⇒ ≥ + +   
   
235. Đặt 3 33 3x 3 3 ; y 3 3= + = − thì x3 + y3 = 6 (1). Xét hiệu b3 – a3 , ta được : 
b3 – a3 = 24 – (x + y)3 = 24 – (x3 + y3) – 3xy(x + y) 
Do (1), ta thay 24 bởi 4(x3 + b3), ta có : 
b3 – a3 = 4(x3 + y3) – (x3 + y3) – 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) – 3xy(x + y) = 
= 3(x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = 3(x + y)(x – y)2 > 0 (vì x > y > 0). 
Vậy b3 > a3 , do đó b > a. 
236. a) Bất đẳng thức đúng với n = 1. Với n ≥ 2, theo khai triển Newton, ta có : 
n
2 3 n
1 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2) 1 n(n 1)...2.1 11 1 n. . . ... .
n n 2! n 3! n n! n
− − − − 
+ = + + + + + 
 
< 
1 1 11 1 ...
2! 3! n!
 
+ + + + + 
 
Dễ dàng chứng minh : 1 1 1 1 1 1... ...
2! 3! n! 1.2 2.3 (n 1)n
+ + + ≤ + + + =
−
= 
1 1 1 1 1 11 ... 1 1
2 2 3 n 1 n n
− + − + + − = − <
−
Do đó n1(1 ) 3
n
+ < 
b) Với n = 2, ta chứng minh 3 3 2> (1). Thật vậy, (1) ⇔ ( ) ( )6 63 3 2> ⇔ 32 > 22. 
Với n ≥ 3, ta chứng minh n n 1n n 1+> + (2). Thật vậy : 
( ) ( ) nnn(n 1) n(n 1) n n 1n 1 n n(n 1) 1(2) n 1 n (n 1) n n 1 nn n
+ +
++ +  ⇔ + < ⇔ + < ⇔ < ⇔ + < 
 
 (3) 
Theo câu a ta có 
n11 3
n
 
+ < 
 
 , mà 3 ≤ n nên (3) được chứng minh. 
 Do đó (2) được chứng minh. 
237. Cách 1 : ( )2 2 4 2A 2 x 1 x x 1 4= + + + + ≥ . min A = 2 với x = 0. 
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : 
2 2 4 244A 2 (x x 1)(x x 1) 2 x x 1 2≥ + + − + = + + ≥ 
min A = 2 với x = 0. 
238. Với x < 2 thì A ≥ 0 (1). Với 2 ≤ x ≤ 4, xét - A = x2(x – 2). Áp dụng bất đẳng thức 
Cauchy cho ba số không âm : 
3
3
x x x 2A x x 2x 22 2. .(x 2) 8
4 2 2 3 3
 
+ + − 
− 
− = − ≤ = ≤   
  
 
- A ≤ 32 ⇒ A ≥ - 32. min A = - 32 với x = 4. 
239. Điều kiện : x2 ≤ 9. 
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI 
42 
32 2
2
2 2
2 4 2 2
x x 9 xx x 2 2A x (9 x ) 4. . (9 x ) 4 4.27
2 2 3
 
+ + − 
= − = − ≤ = 
  
 
max A = 6 3 với x = ± 6 . 
240. a) Tìm giá trị lớn nhất : 
Cách 1 : Với 0 ≤ x < 6 thì A = x(x2 – 6) ≤ 0. 
Với x ≥ 6 . Ta có 6 ≤ x ≤ 3 ⇒ 6 ≤ x2 ≤ 9 ⇒ 0 ≤ x2 – 6 ≤ 3. 
Suy ra x(x2 – 6) ≤ 9. max A = 9 với x = 3. 
Cách 2 : A = x(x2 – 9) + 3x. Ta có x ≥ 0, x2 – 9 ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ 9. 
max A = 9 với x = 3 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất : 
Cách 1 : A = x3 – 6x = x3 + (2 2 )3 – 6x – (2 2 )3 = 
= (x + 2 2 )(x2 - 2 2 x + 8) – 6x - 16 2 
= (x + 2 2 )(x2 - 2 2 x + 2) + (x + 2 2 ).6 – 6x - 16 2 
= (x + 2 2 )(x - 2 )2 - 4 2 ≥ - 4 2 . 
min A = - 4 2 với x = 2 . 
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 3 số không âm : 
x
3
 + 2 2 + 2 2 ≥ 3. 33 x .2 2.2 2 = 6x. 
Suy ra x3 – 6x ≥ - 4 2 . min A = - 4 2 với x = 2 . 
241. Gọi x là cạnh của hình vuông nhỏ, V là thể tích của hình hộp. 
Cần tìm giá trị lớn nhất của V = x(3 – 2x)2. 
Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương : 
4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤ 
34x 3 2x 3 2x
3
+ − + − 
 
 
 = 8 
max V = 2 ⇔ 4x = 3 – 2x ⇔ x = 1
2
Thể tích lớn nhất của hình hộp là 2 dm3 khi cạnh hình vuông nhỏ bằng 1
2
 dm. 
242. a) Đáp số : 24 ; - 11. b) Đặt 3 2 x a ; x 1 b− = − = . Đáp số : 1 ; 2 ; 10. 
c) Lập phương hai vế. Đáp số : 0 ; ± 5
2
d) Đặt 3 2x 1− = y. Giải hệ : x3 + 1 = 2y , y3 + 1 = 2x, được (x – y)(x2 + xy + y2 + 2) = 0 
⇔ x = y. Đáp số : 1 ; 1 5
2
− ±
. 
e) Rút gọn vế trái được : ( )21 x x 42 − − . Đáp số : x = 4. 
g) Đặt 3 37 x a ; x 5 b− = − = . Ta có : a3 + b3 = 2, a3 – b3 = 12 – 2x, do đó vế phải của phương 
trình đã cho là 
3 3a b
2
−
. Phương trình đã cho trở thành : a b
a b
−
+
 = 
3 3a b
2
−
. 
Do a3 + b3 = 2 nên 
3 3
3 3
a b a b
a b a b
− −
=
+ +
 ⇒ (a – b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 – b3) 
Do a + b ≠ 0 nên : (a – b)(a2 – ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2). 
3-2x
3-2x
x
x x
x
x
xx
x
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI 
43 
Từ a = b ta được x = 6. Từ ab = 0 ta được x = 7 ; x = 5. 
h) Đặt 3 3x 1 a ; x 1 b+ = − = . Ta có : a2 + b2 + ab = 1 (1) ; a3 – b3 = 2 (2). 
Từ (1) và (2) : a – b = 2. Thay b = a – 2 vào (1) ta được a = 1. Đáp số : x = 0. 
i) Cách 1 : x = - 2 nghiệm đúng phương trình. Với x + 2 ≠ 0, chia hai vế cho 3 x 2+ . 
Đặt 3
x 1 x 3a ; b
x 2 x 2
+ +
= =
+ +
. Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - 1. Hệ này vô nghiệm. 
Cách 2 : Đặt 3 x 2+ = y. Chuyển vế : 3 33 3y 1 y 1 y− + + = − . Lập phương hai vế ta được : 
y3 – 1 + y3 + 1 + 3. 63 y 1− .(- y) = - y3 ⇔ y3 = y. 63 y 1− . 
Với y = 0, có nghiệm x = - 2. Với y ≠ 0, có y2 = 63 y 1− . Lập phương : y6 = y6 – 1. Vô n0. 
Cách 3 : Ta thấy x = - 2 nghiệm đúng phương trình. Với x - 2, phương trình vô nghiệm, 
xem bảng dưới đây : 
x 3 x 1+ 3 x 2+ 3 x 3+ Vế trái 
x < - 2 
x > - x 
< - 1 
> - 1 
< 0 
> 0 
< 1 
> 1 
< 0 
> 0 
k) Đặt 1 + x = a , 1 – x = b. Ta có : a + b = 2 (1), 4 4 4ab a b+ + = 3 (2) 
Theo bất đẳng thức Cauchy m nmn
2
+≤ , ta có : 
a b 1 a 1 b3 a. b 1. a 1. b
2 2 2
+ + +
= + + ≤ + + = 
1 a 1 b a ba b 1 1 2 3
2 2 2
+ + +
= + + ≤ + + = + = . 
Phải xảy ra dấu đẳng thức, tức là : a = b = 1. Do đó x = 0. 
l) Đặt 4 4a x m 0 ; b x n 0− = ≥ − = ≥ thì m4 + n4 = a + b – 2x. 
Phương trình đã cho trở thành : m + n = 4 44 m n+ . Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế rồi thu gọn : 
2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = 0. 
Suy ra m = 0 hoặc n = 0, còn nếu m, n > 0 thì 2m2 + 3mn + 2n2 > 0. 
Do đó x = a , x = b. Ta phải có x ≤ a , x ≤ b để các căn thức có nghĩa. 
Giả sử a ≤ b thì nghiệm của phương trình đã cho là x = a. 
243. Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a2 + b2 ≠ 0 (a và b không đồng thời bằng 0). 
Đặt 3 3a x ; b y= = , ta có : 
4 2 2 4 4 2 2 4 2 2
2 2 2 2
x x y y x 2x y y 2x yA
x xy y x xy y
+ + + + −
= =
+ + + +
 = 
( ) ( )( )22 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
x y (xy) x y xy x y xy
x y xy
x xy y x y xy
+ − + + + −
= = = + −
+ + + +
. 
Vậy : 2 23 3 3A a b ab= + − (với a2 + b2 ≠ 0). 
244. Do A là tổng của hai biểu thức dương nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy : 
2 2 2 2 2 24A x x 1 x x 1 2 x x 1. x x 1 2 (x x 1)(x x 1)= − + + + + ≥ − + + + = − + + + = 
= 
4 242 x x 2 2+ + ≥ . Đẳng thức xảy ra khi : 
2 2
4 2
x x 1 x x 1
x 0
x x 1 1
 + + = − +
⇔ =
+ + =
. 
Ta có A ≥ 2, đẳng thức xảy ra khi x = 0. Vậy : min A = 2 ⇔ x = 0. 
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI 
44 
245. Vì 1 + 3 là nghiệm của phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có : 
3(1 + 3 )3 + a(1 + 3 )2 + b(1 + 3 ) + 12 = 0. 
Sau khi thực hiện các phép biến đổi, ta được biểu thức thu gọn : 
(4a + b + 42) + (2a + b + 18) 3 = 0. 
Vì a, b ∈ Z nên p = 4a + b + 42 ∈ Z và q = 2a + b + 18 ∈ Z. Ta phải tìm các số nguyên a, b sao cho 
p + q 3 = 0. 
Nếu q ≠ 0 thì 3 = - p
q
, vô lí. Do đó q = 0 và từ p + q 3 = 0 ta suy ra p = 0. 
Vậy 1 + 3 là một nghiệm của phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0 khi và chỉ khi : 
4a b 42 0
2a b 18 0
+ + =

+ + =
 . Suy ra a = - 12 ; b = 6. 
246. Giả sử 3 3 là số hữu tỉ p
q
 ( p
q
 là phân số tối giản ). Suy ra : 3 = 
3
3
p
q
. Hãy chứng minh cả p và 
q cùng chia hết cho 3, trái với giả thiết p
q
 là phân số tối giản. 
247. a) Ta có : ( )23 6 661 2 1 2 1 2 2 2 3 2 2+ = + = + + = + . 
Do đó : ( )223 6 6 6 61 2. 3 2 2 3 2 2. 3 2 2 3 2 2 1+ − = + − = − = . 
b) 6 39 4 5. 2 5 1+ − = − . 
248. Áp dụng hằng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có : 
3 3 2 23 3a 20 14 2 20 14 2 3 (20 14 2)(20 14 2).a a 40 3 20 (14 2) .a= + + − + + − ⇔ = + − 
 ⇔ a3 – 6a – 40 = 0 ⇔ (a – 4)(a2 + 4a + 10) = 0. Vì a2 + 4a + 10 > 0 nên ⇒ a = 4. 
249. Giải tương tự bài 21. 
250. A = 2 + 3 2− . 
251. Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b). 
Từ x = 3 33 9+ . Suy ra x3 = 12 + 3.3x ⇔ x3 – 9x – 12 = 0. 
252. Sử dụng hằng đẳng thức (A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B). Tính x3. Kết quả M = 0 
253. a) x1 = - 2 ; x2 = 25. 
b) Đặt 3u x 9 , v x 3= − = − , ta được : 
3
3
u v 6
v u 6
 = +

= +
 ⇔ u = v = - 2 ⇒ x = 1. 
c) Đặt : 24 x 32 y 0+ = > . Kết quả x = ± 7. 
254. Đưa biểu thức về dạng : 3 3A x 1 1 x 1 1= + + + + − . Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | 
min A = 2 ⇔ -1 ≤ x ≤ 0. 
255. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần. 
256. Đặt 3 2 23 3x y th1 x y P 2 x 2= = ⇒ = + 
258. Ta có : ( ) ( )2 2P x a x b= − + − = | x – a | + | x – b | ≥ | x – a + b – x | = b – a (a < b). 
Dấu đẳng thức xảy ra khi (x – a)(x – b) ≥ 0 ⇔ a ≤ x ≤ b. Vậy min P = b – a ⇔ a ≤ x ≤ b. 
259. Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho từng cặp số dương 
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI 
45 
(a b c) (b c a)(a b c)(b c a) b
2
(b c a) (c a b)(b c a)(c a b) c
2
(c a b) (a b c)(c a b)(a b c) a
2
+ − + + −
+ − + − ≤ =
+ − + + −
+ − + − ≤ =
+ − + + −
+ − + − ≤ =
Các vế của 3 bất dẳng thức trên đều dương. Nhân 3 bất đẳng thức này theo từng vế ta được bất đẳng 
thức cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 
a + b – c = b + c – a = c + a – b ⇔ a = b = c (tam giác đều). 
260. 2 2x y (x y) (x y) 4xy 4 4 2 2− = − = + − = + = . 
261. 2A = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2. 
Ta có : c – a = - (a – c) = - [(a – b) + (b – c)] = - ( 2 + 1 + 2 - 1) = - 2 2 . 
Do đó : 2A = ( 2 + 1)2 + ( 2 - 1)2 + (-2 2 )2 = 14. Suy ra A = 7. 
262. Đưa pt về dạng : ( ) ( ) ( )2 2 2x 2 1 y 3 2 z 5 3 0− − + − − + − − = . 
263. Nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì y = 2. 
264. Đặt : ( )( )x 1 y 0. M x 1 x 1 2 3 x 1− = ≥ = − − + − − . 
265. Gọi các kích thước của hình chữ nhật là x, y. Với mọi x, y ta có : x2 + y2 ≥ 2xy. Nhưng x2 + y2 
= (8 2 )2 = 128, nên xy ≤ 64. Do đó : max xy = 64 ⇔ x = y = 8. 
266. Với mọi a, b ta luôn có : a2 + b2 ≥ 2ab. Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên : 
c2 ≥ 2ab ⇔ 2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab ⇔ 2c2 ≥ (a + b)2 ⇔ c 2 ≥ a + b ⇔ c ≥ a b
2
+
. 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. 
267. Biến đổi ta được : ( ) ( ) ( )2 2 2a 'b ab ' a 'c ac ' b 'c bc ' 0− + − + − = 
268. – 2 ≤ x ≤ - 1 ; 1 ≤ x ≤ 2. 
---------------Hết---------------